Nombre réel / imaginaire pur - Corrigé

Énoncé

1. Soit $\theta$ un nombre réel, on pose $z={\text{e}}^{i\theta }$ . Montrer que $\frac{z^2-1}{z}$ est un nombre imaginaire pur.

2. Soit $z$ et $z^{\prime }$ deux nombres complexes de module 1 tels que $z{z}^{\prime }\ne -1$ . Démontrer que $\frac{z+z^{\prime }}{1+z{z}^{\prime }}$ est réel, et préciser son module.

Solution

1. On a : $\begin{array}{rl}\frac{z^2-1}{z}& =\frac{{\left({\text{e}}^{i\theta }\right)}^2-1}{{\text{e}}^{i\theta }}=\frac{{\text{e}}^{2i\theta }-1}{{\text{e}}^{i\theta }}=\frac{{\text{e}}^{i\theta }(e^{i\theta }-{\text{e}}^{-i\theta })}{{\text{e}}^{i\theta }}={\text{e}}^{i\theta }-{\text{e}}^{-i\theta }=2i\sin (\theta )\in i\mathbb{R}\end{array}$
donc ${\displaystyle \frac{z^2-1}{z}}\in i\mathbb{R}$ .

2. Soit $\theta$ et ${\theta }^{\prime }$ des nombres réels tels que $z={\text{e}}^{i\theta }$ et $z={\text{e}}^{i{\theta }^{\prime }}$
${\displaystyle \frac{z+z^{\prime }}{1+z{z}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{{\text{e}}^{i\theta }+{\text{e}}^{i{\theta }^{\prime }}}{1+{\text{e}}^{i\theta }{\text{e}}^{i{\theta }^{\prime }}}}={\displaystyle \frac{{\text{e}}^{i\theta }+{\text{e}}^{i{\theta }^{\prime }}}{1+{\text{e}}^{i(\theta +{\theta }^{\prime })}}}={\displaystyle \frac{{\text{e}}^{i\frac{\theta +{\theta }^{\prime }}{2}}({\text{e}}^{i\frac{\theta -{\theta }^{\prime }}{2}}+{\text{e}}^{i\frac{-\theta +{\theta }^{\prime }}{2}})}{{\text{e}}^{i\frac{\theta +{\theta }^{\prime }}{2}}({\text{e}}^{i\frac{-(\theta +{\theta }^{\prime })}{2}}+{\text{e}}^{i\frac{\theta +{\theta }^{\prime }}{2}})}}={\displaystyle \frac{{\text{e}}^{i\frac{\theta -{\theta }^{\prime }}{2}}+{\text{e}}^{i\frac{-(\theta -{\theta }^{\prime })}{2}}}{{\text{e}}^{i\frac{-(\theta +{\theta }^{\prime })}{2}}+{\text{e}}^{i\frac{\theta +{\theta }^{\prime }}{2}}}}={\displaystyle \frac{2\cos \left(\frac{\theta -{\theta }^{\prime }}{2}\right)}{2\cos \left(\frac{\theta +{\theta }^{\prime }}{2}\right)}}={\displaystyle \frac{\cos \left(\frac{\theta -{\theta }^{\prime }}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\theta +{\theta }^{\prime }}{2}\right)}}$

Donc ${\displaystyle \frac{z+z^{\prime }}{1+z{z}^{\prime }}}$ est un nombre réel, de module ${\displaystyle \frac{|\cos \left(\frac{\theta -{\theta }^{\prime }}{2}\right)|}{|\cos \left(\frac{\theta +{\theta }^{\prime }}{2}\right)|}}$ .